LIMIT

PENGERTIAN LIMIT

Untuk x mendekati harga tertentu dapat ditentukan nilai pendekatan dari f(x) yang merupakan limit (nilai Batas) dari f(x) tersebut.
Contoh :
Untuk x mendekati tak berhingga, maka f(a) = 2/x akhirnya akan mendekati 0.
ditulis : l i m     2 = 0
x ® ¥  x

Hasil yang harus dihindari

0/0 ; ¥/¥ ; ¥-¥ ; 0,¥ (*) (bentuk tak tentu)

Teorema
1. Jika f(x) = c maka   l i m    f(x) = c
x ® a

2. Jika l i m    f(x) = F dan l i m    g(x) = G maka berlaku
x ® a x ® a
a.  l i m   [f(x) ± g(x)] =  l i m   f(x) ± l i m   g(x) = F ± G
x ® a
x ® a x ® a

b. l i m   [f(x) • g(x)] =  l i m   f(x) l i m   g(x) = F • G
x ® a
x ® a x ® a
c. l i m   k • f(x) =  k  l i m   f(x) = k • F
x ® a
x ® a
l i m     f(x)
d. l i m     f(x) = x ® a = F
x ® a g(x)     l i m     g(x) G
x ® a

Langkah Mencari Limit Suatu Fungsi

1. Harga yang didekati disubstitusikan ke fangsi yang dimaksud.
Bila bukan (*) maka itulah nilai limitnya.

2. Bila (*) maka usahakan diuraikan.
Pada fungsi pecahan, faktor yang sama pada pembilang dan     penyebut (penyebab bentuk (*)) dicoret. Pencoretan im boleh     dilakukan, karena x hanya mardekati harga yang diberikan. Kemudian     baru harga yang didekati disubstitusikan. Dalam konteks limit     perhatikan hasil pembagian berikut :

0/a = 0 ; a/0 = ¥ ; ¥/a = ¥a/¥ = 0 ; ¥ ± a = ¥ (a = konstanta)

Ketentuan

Untuk x <<< ( x ® 0 ) maka sin x » x
(x <<< kecil sekali ; » setara )

l i m    sin x = 1             l i m   tg x = 1
x ® 0     x                    x ® 0    x

l i m     x = 1            l i m      x = 1
x ® 0   sin  x                 x ® 0     tg x

PERLUASAN

l i m    sin ax = a/b       l i m     tg ax = a/b
x ® 0     bx                 x ® 0     bx

l i m     ax = a/b       l i m      ax = a/b
x ® 0   sin bx                 x ® 0  tg bx
l i m    sin ax = a/b       l i m     tg ax = a/b
x ® 0   sin bx                 x ® 0 tg bx

l i m    sin ax = a/b       l i m     tg ax = a/b
x ® 0   tg bx               x ® 0    sin bx

Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:

cos x = sin (90° – x)
ctg x = tg (90° – x)
sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax
cos ax = 1- 2 sin² ½ax
cos²x = 1 – sin²x

Hal-Hal Khusus

l i m    axm + bxm-1 + …. =
x ® ¥   pxn + qxn-1 + …
¥    untuk m > n ;
a/p untuk m =n ;
0    untuk m < n

l i m    Öax2 + bx + c  –    Ödx2 + ex + f
x ® ¥
¥    untuk a > d ;
b-e untuk m =n ;
2Öa
-¥    untuk a < d

Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.

Dalil L’hospital

Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka

l i m    f(x) = l i m    f(x)
x ® ¥  g(x)     x ® a   g(x)       

Contoh Limit Fungsi Aljabar

1.  l i m   x2 – 5x + 6 = (3)2 – 5(3) + 6 = 0 
x ® 3

2.  l i m    3x – 2 ¥ (*) Uraikan
x ® ¥  2x + 1       ¥     

x(3 – 2/x) = 3 – 2/x = 3 – 0 = 3
x(2 – 1/x)    2 + 1/x   2 – 0    2

atau langsung gunakan hal khusus

3.  l i m    x2 – x – 1 ¥ (*) Uraikan
x ® ¥   10x + 9         ¥     

x(x – 1 – 1/x) = x – 1 – 1/x = ¥ – 1 – 0 = ¥ =¥
x(10 – 9/x)       10 + 9/x        10 + 0      10

atau langsung gunakan hal khusus

4.  l i m    x2 – 3x + 2 0 (*) Uraikan
x ® 2   x2 – 5x + 6       0    

(x – 1)(x – 2) = (x – 1) = 2 – 1 = -1
(x – 3)(x – 2) = (x – 3) = 2 – 3
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
5.  l i m    x3 – 3x2 + 3x – 1 0 (*) Uraikan
x ® 1       x2 – 5x + 6           0    

(x – 1)3 = (x – 1)2 = (1 – 1)2 = 0
(x – 1) (x – 5)     (x + 5)     (1 + 5)     6

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

6.  l i m    Ö2 + x – Ö2x 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x ® 2       x – 2            0         mengalikan bentuk sekawan

(x – 1)3 = (x – 1)2 = (1 – 1)2 = 0 = 0
(x – 1) (x – 5)     (x + 5)     (1 + 5)     6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

7.  l i m   (3x – Ö9x2 + 4x)  = ¥ – ¥  (*) Hilangkan tanda akar
x ® ¥       

l i m   (3x – Ö9x2 + 4x )  = é 3x – Ö9x2 + 4x ù =  (*) Hilangkan tanda
x ®  ¥   ë 3x – Ö9x2 + 4x  û akar

l i m   (9×2 – (9x2 + 4x)  = l i m    -4x =
x ®  ¥    3x + Ö(9x2 + 4x) x ®  ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)]

l i m     -4 -4 = -2
x ®  ¥    3 + 3Ö(1 + 0) 6     3
atau langsung gunakan hal khusus

Contoh Limit Fungsi Trigonometri

1. l i m   sin 2x = 0 (*)
x ® 0  tg 3x     0

sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x     tg 3x 3             3    3

2. l i m   1 – cos 2x = 0
x ® 0      sin 2x      0

1 – (1 – 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x        2 sin x cos       cos x

3. l i m   1 – cos x = 0
x ® 0       3x²      0

2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x)     6 (½x)      (½x)      6             6

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

4. l i m   sin x – sin a = 0 (*)
x ® 0       x – a        0

2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x – a                         ½ (x – a )

cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: