Archive for Desember, 2009

PERSAMAAN LINGKARAN DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

PERSAMAAN LINGKARAN DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

  1. Persamaan lingkaran
    1. Defenisi

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang digambarkan pada bidang cartesius.
Titik tertentu tersebut pusat lingkaran dan jarak yang sama disebut jari-jari.
Beberapa formula menentukan jarak

1. Jarak antara dua titik A (X1, Y1) dan B (X2, Y2), ditentukan oleh
2. Jarak titik A (X1, Y1) terhadap garis lurus ax+by+c = 0 ditentukan oleh

  1. Persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r
    Dengan menggunakan teorema phytagoras diperoleh

Persamaan lingkaran dengan pusat 0 (0,0) dan jari-jari r ditentukan oleh

Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0(0,0) dan jari-jari:

Jawaban: a. Pusat di 0(0, 0) dan r =4

b. Pusat di 0 (0,0) dan r =

  1. Persamaan lingkaran yang berpusat di A (a,b) dan berjari-jari r

Persamaan lingkaran (x-a)2+(y-b)2=r2 dinamakan persamaan lingkaran dengan pusat a(a,b) dari jari-jari r.

Contoh:
1. Tentukan persamaan setiap lingkaran berikut ini
Pusat (4, 3) dan jari-jari=6
Jawaban: pusat (4, 3) dan r=6; r2= 36
Persamaan lingkaran
(x-4)2+(y-3)2 = 36

2. Tentukan persamaan tiap lingkaran berikut ini
Pusat A(5, -1) melalui titik P (-1, 7)
Jawaban : pusat A (5, -1) dan melalui titik P(-1, 7)
Persamaan lingkaran

3. Tentukan pusat dan jari-jari setiap lingkaran berikut (x-1)2 + (y-2)2 = 25
Jawaban : Pusat A (1, 2) dan r = 5

Posisi suatu titik P (c, d) terhadap lingkaran L= ( x – a )2 + ( y – b )2 = r2
Posisi suatu titik P (c, d ) terhadap lingkaran L= ( x – a )2 + ( y – b )2 = r2 dilakukan dengan mensubtitusikan p(c, d) keliling lingkaran tersebut dan membandingkan dengan nilai r2, kemungkinan posisi titik p (c, d ) sebagai berikut:
1. P (c, d ) didalam lingkaran L

2. P (c, d ) pada lingkaran L

3. P (c, d ) diluar lingkaran L

Contoh 01 :

Tampa menggambar pada bidang cartesius, tentukan posisi setiap titik berikut ini terhadap lingkaran yang disebut.
a. P(1, 1) dan lingkaran
Jawaban;
P(1, 1) dan
Jadi titik P (1, 1) terlatak
Contoh 02:
Tentukan batas-batas nilai a agar
a) P(-a, 1) terletak didalam lingkaran maka

  1. BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN
    1. Menyatakan bentuk umum persamaan lingkaran
    Contoh: Tentukan bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di titik A (3, 4) dan berjari-jari = 3
    Jawaban:

Jadi bentuk umum persamaan lingkarannya adalah x2+y2-6x-8y+16=0

2. Posisi suatu titik T (p, q) terhadap lingkaran

1) T(p, q) didalam lingkaran

2) T(p, q) pada lingakaran L

3) T(p, q) diluas lingkaran

Contoh : Tentukan nilai K agar titik N (k, 2) terletak di luar lingkaran
Jawaban: Kn > 0 = K2 + 22 + 4 K – 3.2 – 10 > 0
= K2 + 4 K – 12 > 0
= ( k + 6 ) ( K – 2 ) > 0
= k < -6 atau K > 2
3. jarak titik A (x1, y1) terhadap lingkaran L yang berpusat di P (a, b) dengan jari-jari r
i. Jika titik A (x1, y1) pada lingakaran L maka L (x1, y1) = 0 dan jarak nya = 0
ii. Jika titik A (x1, y1) di dalam lingkaran L maka L (x1, y1)< ) dan
– Jarak terdekat = AB di tentukan oleh AB = r – AP
– Jarak terjauh = AC ditentukan oleh AC = AP + r dengan jarak AP = jarak titik A kepusat lingkaran
iii. JIka titik A (x1, y1) di luar lingkaran L maka L (x1, y1) > 0 dan
– Jarak terdekat = AB ditentukan Oleh AB = AP – r
– Jarak terjauh = AC = =

  1. Kedudukan garis terhadap lingkaran
    Kedudukan garis G dengan persamaan y = mx + k terhadap lingkaran ditentukan berdasarkan diskriminasi D = b2 – 4 ac
    i. Bila D > 0 maka garis G memotong lingkaran L di dua titik berlainan
    ii. Bila D = 0 maka garis G menyinggung lingkaran
    iii. Bila D < 0 maka garis G tidak memotong maupun menyinggung lingkaran L
    Contoh: Selidikilah kedudukan setiap garis dibawah ini dengan , dengan garis G; y=3x+2
    Jawaban: Hasil subsitusi 10×2 + 13 x +3 = 0
    Hasil test diskriminan D = 132 – 14 x 10 x 3
    = 169 – 120
    = 49 > 0
    Kesimpulan:
    Garis G: y = 3x +2 memotong lingkaran L didua titik berlainan.
  2. Persamaan garis singgung lingkaran
    (1). Persamaan garis singgung lingkaran lingkaran melalui titik singgung T (X1, Y1) pada lingkaran L
    a. Lingkaran L berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r
    X1X + Y1Y= r2
    Contoh:
    Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (1, -2)
    Jawaban:
    Persamaan garis singgung x-2y = 5 atau x – 2y – 5 = 0
    b. lingkaran L perpusat di A (a, b) dan berjari-jari r
    (x1 – a) (x – a) + (y1-b) ( y – b) = r2
    Contoh: Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik singgung A (-3, 1)
    Jawaban: Persamaan garis singgung
    ( -3 -1) (x – 1) + ( a – 4 )( y – 4 ) = 25
    -4 ( x – 1) -3 (y – 4) -25 = 0
    -4x + 4 -3x + 12 – 25 = 0
    -4x – 3 y – 9 = 0
    4x + 3y + 9 = 0
    Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (-3, 1) adalah 4x + 3y + 9 = 0
    c. Lingkaran L dengan bentuk umum x2 + y2 + Ax + By + C= 0

    1. Persamaan garis singgung dengan gradient tertentu (m)
      i. Lingkaran L berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r

Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan gradient m di tentukan oleh formula
ii. Lingkaran L berpusat di A (a, b) dan berjari-jari r penentuan garis singgung pada lingkaran serupa dengan penentuan garis singgung pada lingkaran dengan gradient tertentu (m).

Dengan mensubtitusikan x menjadi (x – a) dan y menjadi ( y – b) pada persamaan garis singgung di peroleh

  1. Persamaan garis singgung melalui sebuah titik di luar lingkaran
    Persamaan lingkaran
    1) X2 + y2 = r2
    2) (x – a)2 + (y – b)2 = r2
    3) x2 + y2 + Ax + By + C= 0
    Persamaan garis polar
    1. x1 x + y1 y = r2
    2. (x1 – a) (x – a) + (y1-b) ( y – b) = r2
    3.
  2. HUBUNGAN DUA LINGKARAN (PENGAYAAN)

MIsalnya lingkaran L1 dengan pusat P1 dan berjari-jari r1 serta lingkaran L2 dengan pusat P2 dan berjari-jari r2, maka hubungan ke dua lingkaran tersebut depat diuraikan sebagai berikut
i. L1 Sepusat dengan L2 = syaratnya
ii. L1 dan L2 bersinggungan didalam = syaratnya
iii. L2 didalam L1 = syaratnya
iv. L1 berpotongan dengan L2 = syaratnya

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan jari-jari r = 2+
Jawab:
Pusat di 0 (0, 0) dan r = 2+

+3

atau

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan melalui masing-masing titik berikut ini A (2, 4)
Jawab:
Karena lingkaran x2+y2=r2 melalui titik A (2, 4) maka nilai r2 ditentukan oleh r2 =22 + 42 r2 = 4 + 16
r2 = 20
3. Tentukan tempat kedudukan titik-titik P(x, y) yang memenihi setiap hubungan berikut.
a. apa bila A (0, 1) dan B (0, 16)
Jawaban:
PB = 4PA PB2 =16PA2
(0 – x)2 + (16 – y)2 = 16

4. Tampa menggambar pada bidang cartesius, tentukan posisi titik P(a, b) terhadap lingkaran L berikut ini P(-1, 6) dan
Jawaban : P(-1, 6) dan L x2 + y2 = 40
(-1)2 + 62 = 3 < 40
5. Tentukan pusat dan jari-jari setiap lingkaran berikut ini.
a. (x + 3)2 + (y – 2)2 = 9
b. (x + 4)2 + (y – 5)2 = 24
Jawaban:
a. Pusat A (-3, 2) dan r = =3
b. Pusat B (-4, -5) dan r = =
6. Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya merupakan garis yang menghubungjkan titik A (1, 5) dengan B (9, -1)
Jawaban:

7. Tentukan nilai a agar titiuk P (a, ) terletak pada lingkaran 2+y2=12
Jawaban:
P (a, ) terletak pada lingkaran 2+y2=12
2+3=12 2 =12-3
2 =9
2 =32
= ±3 jadi a = 3 – 4 = -1 dan

8. Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter garis AB dengan A (3, 2) dan B (0, -1)

Persamaan lingkaran

9. Tentukan nilai n agar titik T (3, n) terletak pada lingkaran
Jawaban:
Nilai kuasa titik r (3, n) sama dengan nol, hal ini berarti:
Kr = 32 + n2 + 15 – 13 n + 6 = 0
= 9 + n2 + 15 – 13 n + 6 = 0
= n2 – 13 n + 30 = 0
= (n – 10) (n – 3) = 0
= n = 10 atau n = 3
10. Tentukan titik potong garis y=2x dengan lingkaran
Jawaban:
Hasil subsitusi:
x2 + 2 x – 15 = 0
= (x – 5) (x – 3) = 0
= x1 = -5 atau x2 = 3
Penemuan nilai y
X1 = -5; Y = 2 (-5) = -10
X2 = 3; Y = 2 (3) = 6
Jadi titik potong dengan lingkaran adalah ( -5, -10) dan (3, 6)

11. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik singgung B (12, -5)
Jawaban:
Persamaan garis singgung

12. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung B (0, 9)
Jawaban:
Persamaan garis singgung

Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung B ( 0, 9) adalah

13. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (2, 1)
Jawaban:
Titik singgung A (2, 1) berarti x1 = 2 dan y1 =1 persamaan garis singgung

VEKTOR

Vektor
Vektor adalah garis yang memiliki panjang dan arah. Simbol untuk vektor, bisa berupa overline variable (misalnya: atau ) bisa juga dalam simbol dot to dot variabel (misalnya: atau , yang artinya titik dimulai dari pangkal A ke titik B).

Vektor dapat ditulis dalam bentuk matriks kolom.
Misalnya: =>
Vektor dalam bentuk matriks kolom dapat dibuat lebih *hemat tempat* dengan pemberian unsur transpos matriks. Jadi, matriks juga dapat ditulis dalam bentuk . Simbol T berarti *tranpos*.

Selain itu matriks dapat ditulis dalam bentuk penambahan vektor-vektor satuan.
Sebagai contoh: = 3 + 5. (Bentuk ini adalah bentuk yang paling efektif, karena menunjukkan elemen vektor satuan.. Tapi, kurang enak dibaca.. ~~a)
Di sini adalah vektor , sedangkan adalah vektor .

Operasi vektor bisa berupa:
1. Penjumlahan (dan pengurangan): tinggal menjumlahkan elemen-elemen vektor yang sesuai
2. Perkalian dengan skalar (menghasilkan vektor yang sejajar dengan vektor awal)
3. Perkalian dengan vektor (akan dibahas lebih lanjut).

Contoh Soal 1: Jika = dan = , maka berapakah + ?
Jawab: + = + = =

Contoh Soal 2: Jika = 2 + 5 -8, maka berapakah 2?
Jawab: 2 = 2(2 + 5 -8) = + 5 -16. (bentuk ini adalah bentuk lain dari vektor. Lihat penjelasan awal).

Contoh Soal 3: Jika = 6 -5 -, dan = 3 + , dan = -2 +5, dan = 2+ 2, maka berapakah ?
Jawab: = 2(6 -5 -) – (3 + ) + 2(-2 +5) = 12-10-2-3–4+10
_________= 5 - 3
Atau dapat juga ditulis = .

Panjang vektor dapat ditentukan dengan konsep phytagoras. (perhatikan simbol untuk panjang vektor)..
Contoh soal 4: jika = , berapakah panjang .
Jawab: Panjang vektor = = = .

Contoh soal 5: Jika = +3+5+7+9 + 11. Tentukan panjang vektor !

Jawab: = =

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1 satuan. Lambang vektor satuan bermacam-macam. Di sini akan digunakan simbol .
Contoh Soal 6: = . Apakah vektor adalah vektor satuan?
Jawab: = = 1. Maka adalah vektor satuan (karena panjangnya 1)

Contoh soal 7: Terdapat vektor dimana = 2 + 6j +5k.Tentukan vektor satuan yang searah dan sejajar dengan vektor .
Jawab:
Tentukan panjang vektor = = =
Syarat sejajar dan searah, vektor itu harus dikalikan konstanta yang positif.
= c. … (i)
Syarat ini juga dipenuhi untuk *panjang* vektor. Jadi:
= c.
Panjang vektor satuan adalah 1. Jadi:
1 = c.
Maka, c = = .
Subtitusikan nilai c ini di persamaan awal, maka didapat:
= = = .

Contoh soal 8: Berapakah vektor satuan dari vektor (yang ada di contoh soal nomor 3)?
Jawab:
Soal ini identik dengan soal nomor 7 (hanya beda kata-kata).
Di soal ini, kita mencoba memakai rumus vektor satuan, yang logikanya sudah ada di contoh soal nomor 7.

=

Jadi, = = = .

Vektor Posisi adalah vektor yang berpangkal dari koordinat O, bisa (0,0) atau (0,0,0), dan seterusnya.
Misalnya: = =>

Contoh soal 9: Jika = , sedangkan = . Tentukan vektor !
Jawab:
Dengan digambar, maka kita tahu bahwa + = , maka:
= = =

Ruang Dimensi Vektor menunjukkan di dimensi mana vektor itu berada. Misalnya, vektor itu terletak di dalam ruang, maka dia akan berada di dimensi 3 atau di . Jika vektor itu terletak di bidang, maka vektor itu berada di dimensi . Lalu, apakah dimensi 4 itu ada? Bagaimana cara menggambar vektor di dimensi 4 atau lebih? Hmm..

Sebetulnya, vektor dimensi 4 atau lebih itu ada, tapi vektor ini bersifat *khayal*, dan tidak bisa digambar.
Apakah Dot dan Cross Product berlaku untuk dimensi 4, 5, dan seterusnya…??
Tidak!! Cross Product hanya berlaku di . Namun, dot bisa berlaku di semua dimensi. Namun, pembuktian untuk dot product di dimensi 4 (atau lebih) masih belum ada (dan tidak akan ada). Jadi, kita sebaiknya lihat pembahasan Dot dan Cross Product di dan saja yach.. ^^

Panjang Vektor

Untuk mencari panjang sebuah vektor dalam ruang euklidian tiga dimensi, dapat digunakan cara berikut:

Kesamaan dua vektor

Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya memiliki panjang dan arah yang sama

Kesejajaran dua vektor

Dua Buah Vektor disebut sejajar (paralel) apabila garis yang merepresentasikan kedua buah vektor sejajar.

OPERASI VEKTOR

Perkalian skalar

Sebuah vektor dapat dikalikan dengan skalar yang akan menghasilkan vektor juga, vektor hasil adalah:

Penambahan vektor dan pengurangan vektor

Sebagai contoh vektor a=a1i + a2j + a3k dan b=b1i + b2j + b3k.

Hasil dari a ditambah b adalah:

pengurangan vektor juga berlaku dengan cara yang kurang lebih sama

Vektor satuan

Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang 1 satuan panjang. Vektor satuan dari sebuah vektor dapat dicari dengan cara:

PERKALIAN VEKTOR

Dari Persamaan

Perkalian vektor adalah operasi perkalian dengan dua operand (obyek yang dikalikan) berupa vektor. Terdapat tiga macam perkalian vektor, yaitu perkalian titik (dot product), perkalian silang (cross product) dan perkalian langsung (direct product).

Perkalian titik

Perkalian titik dua buah vektor akan menghasilkan sebuah skalar. Jenis perkalian ini bersifat komutatif.

Untuk vektor satuan terdapat hubungan-hubungan yang khusus dalam operasi perkalian titik, yang merupakan sifat-sifat yang digunakan dalam perkalian titik, yaitu

dan

Atau dapat pula dituliskan dengan menggunakan notasi delta Kronecker , yaitu

Perkalian silang

Hasil suatu perkalian silang dua buah vektor adalah juga sebuah vektor. Perkalian silang bersifat tidak komutatif.

Untuk vektor-vektor satuan terdapat pula hubungan yang mendasari operasi perkalian silang, yaitu

dan atau jika SAMA=1 dan jika BEDA=1

Perkalian langsung

Hasil perkalian langsung dua buah vektor adalah sebuah tensor atau matriks. Perkalian ini tidak bersifat komutatif.

Perkalian langsung dua buah vektor satuan tidak memiliki hubungan yang khusus.

pak dewan \”Time is ruNning Out Muse\”

LIMIT

PENGERTIAN LIMIT

Untuk x mendekati harga tertentu dapat ditentukan nilai pendekatan dari f(x) yang merupakan limit (nilai Batas) dari f(x) tersebut.
Contoh :
Untuk x mendekati tak berhingga, maka f(a) = 2/x akhirnya akan mendekati 0.
ditulis : l i m     2 = 0
x ® ¥  x

Hasil yang harus dihindari

0/0 ; ¥/¥ ; ¥-¥ ; 0,¥ (*) (bentuk tak tentu)

Teorema
1. Jika f(x) = c maka   l i m    f(x) = c
x ® a

2. Jika l i m    f(x) = F dan l i m    g(x) = G maka berlaku
x ® a x ® a
a.  l i m   [f(x) ± g(x)] =  l i m   f(x) ± l i m   g(x) = F ± G
x ® a
x ® a x ® a

b. l i m   [f(x) • g(x)] =  l i m   f(x) l i m   g(x) = F • G
x ® a
x ® a x ® a
c. l i m   k • f(x) =  k  l i m   f(x) = k • F
x ® a
x ® a
l i m     f(x)
d. l i m     f(x) = x ® a = F
x ® a g(x)     l i m     g(x) G
x ® a

Langkah Mencari Limit Suatu Fungsi

1. Harga yang didekati disubstitusikan ke fangsi yang dimaksud.
Bila bukan (*) maka itulah nilai limitnya.

2. Bila (*) maka usahakan diuraikan.
Pada fungsi pecahan, faktor yang sama pada pembilang dan     penyebut (penyebab bentuk (*)) dicoret. Pencoretan im boleh     dilakukan, karena x hanya mardekati harga yang diberikan. Kemudian     baru harga yang didekati disubstitusikan. Dalam konteks limit     perhatikan hasil pembagian berikut :

0/a = 0 ; a/0 = ¥ ; ¥/a = ¥a/¥ = 0 ; ¥ ± a = ¥ (a = konstanta)

Ketentuan

Untuk x <<< ( x ® 0 ) maka sin x » x
(x <<< kecil sekali ; » setara )

l i m    sin x = 1             l i m   tg x = 1
x ® 0     x                    x ® 0    x

l i m     x = 1            l i m      x = 1
x ® 0   sin  x                 x ® 0     tg x

PERLUASAN

l i m    sin ax = a/b       l i m     tg ax = a/b
x ® 0     bx                 x ® 0     bx

l i m     ax = a/b       l i m      ax = a/b
x ® 0   sin bx                 x ® 0  tg bx
l i m    sin ax = a/b       l i m     tg ax = a/b
x ® 0   sin bx                 x ® 0 tg bx

l i m    sin ax = a/b       l i m     tg ax = a/b
x ® 0   tg bx               x ® 0    sin bx

Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:

cos x = sin (90° – x)
ctg x = tg (90° – x)
sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax
cos ax = 1- 2 sin² ½ax
cos²x = 1 – sin²x

Hal-Hal Khusus

l i m    axm + bxm-1 + …. =
x ® ¥   pxn + qxn-1 + …
¥    untuk m > n ;
a/p untuk m =n ;
0    untuk m < n

l i m    Öax2 + bx + c  –    Ödx2 + ex + f
x ® ¥
¥    untuk a > d ;
b-e untuk m =n ;
2Öa
-¥    untuk a < d

Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.

Dalil L’hospital

Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka

l i m    f(x) = l i m    f(x)
x ® ¥  g(x)     x ® a   g(x)       

Contoh Limit Fungsi Aljabar

1.  l i m   x2 – 5x + 6 = (3)2 – 5(3) + 6 = 0 
x ® 3

2.  l i m    3x – 2 ¥ (*) Uraikan
x ® ¥  2x + 1       ¥     

x(3 – 2/x) = 3 – 2/x = 3 – 0 = 3
x(2 – 1/x)    2 + 1/x   2 – 0    2

atau langsung gunakan hal khusus

3.  l i m    x2 – x – 1 ¥ (*) Uraikan
x ® ¥   10x + 9         ¥     

x(x – 1 – 1/x) = x – 1 – 1/x = ¥ – 1 – 0 = ¥ =¥
x(10 – 9/x)       10 + 9/x        10 + 0      10

atau langsung gunakan hal khusus

4.  l i m    x2 – 3x + 2 0 (*) Uraikan
x ® 2   x2 – 5x + 6       0    

(x – 1)(x – 2) = (x – 1) = 2 – 1 = -1
(x – 3)(x – 2) = (x – 3) = 2 – 3
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
5.  l i m    x3 – 3x2 + 3x – 1 0 (*) Uraikan
x ® 1       x2 – 5x + 6           0    

(x – 1)3 = (x – 1)2 = (1 – 1)2 = 0
(x – 1) (x – 5)     (x + 5)     (1 + 5)     6

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

6.  l i m    Ö2 + x – Ö2x 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x ® 2       x – 2            0         mengalikan bentuk sekawan

(x – 1)3 = (x – 1)2 = (1 – 1)2 = 0 = 0
(x – 1) (x – 5)     (x + 5)     (1 + 5)     6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

7.  l i m   (3x – Ö9x2 + 4x)  = ¥ – ¥  (*) Hilangkan tanda akar
x ® ¥       

l i m   (3x – Ö9x2 + 4x )  = é 3x – Ö9x2 + 4x ù =  (*) Hilangkan tanda
x ®  ¥   ë 3x – Ö9x2 + 4x  û akar

l i m   (9×2 – (9x2 + 4x)  = l i m    -4x =
x ®  ¥    3x + Ö(9x2 + 4x) x ®  ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)]

l i m     -4 -4 = -2
x ®  ¥    3 + 3Ö(1 + 0) 6     3
atau langsung gunakan hal khusus

Contoh Limit Fungsi Trigonometri

1. l i m   sin 2x = 0 (*)
x ® 0  tg 3x     0

sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x     tg 3x 3             3    3

2. l i m   1 – cos 2x = 0
x ® 0      sin 2x      0

1 – (1 – 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x        2 sin x cos       cos x

3. l i m   1 – cos x = 0
x ® 0       3x²      0

2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x)     6 (½x)      (½x)      6             6

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

4. l i m   sin x – sin a = 0 (*)
x ® 0       x – a        0

2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x – a                         ½ (x – a )

cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

PERSAMAAN DAN FUNSI KUADRAT

MUSE HYSTERIA

  1. A. Definisi

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertinggi peubahnya sama dengan dua.
Contoh :

  • Y2+ 4y +1 = 0
  • x2 + 2 ( x + 1) +4 = 0
  • m p2 + (m+1) p + 3p+1 = 0

Peubah atau variabel persamaan kuadrat umumnya adalah x, tetapi variabel tersebut dapat huruf apa saja seperti pada contoh.

Bentuk umum persamaan kuadrat ax2+ bx + c =0 , a ‡0

  • x adalah peubah atau variabel
  • a adalah koefisien x2
  • b adalah koefisien x
  • c adalah konstanta

Persamaan kuadrat yang tidak ditulis dalam bentuk umum ini dikenal dengan nama persamaan tersamar. Untuk memastikan , memudahkan penulisan dan penyelesaian, sebaiknya persamaan tersamar tersebut diubah dalam bentuk umum ini ax2+ bx + c =0 , a ‡ 0

Contoh :

Ubah ke bentuk umum dan tentukan apakah persamaan berikut ini adalah persamaan kuadrat

a. ( x2 + 3 )2 – ( x4 + x + 4 ) = 0        b.

Jawab :

a. ( x2 + 3 )2 – ( x4 + x + 4 )=0

  • x4 + 6×2 + 9 –x4 – x – 4 )=0
  • 6×2 + – x + 5=0 , persamaan kuadrat

b.

———————— x 152

15 + 3x3 + 10 x2 = 0, bukan persamaan kuadrat

  1. B. Akar Persamaan Kuadrat

Akar persamaan kuadrat adalah nilai suatu variabel yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Contoh Tentukan bilangan mana diantara –5, 3 dan 7/2 , yang merupakan akar dari Persamaan kuadrat 2x2 + 3x = 35

Untuk x = -5,
<–> 2x2 + 3x = 35
<–> 2(-5)2 + 3(-5) = 35
<–> 50 – 15 = 35,
<–>35 = 35 Benar, jadi x = -5 adalah akar

Untuk x = 3,
<–> 2x2 + 3x = 35
<–> 2(3)2 + 3(3) = 35
<–> 18 + 9 = 35,
<–>27 = 35 salah, jadi x= 3 bukan akar

  1. Penyelesaian persamaan kuadrat :
  • Mencari akar persamaan kuadrat adalah menentukan bilangan yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut.
  • Suatu persamaan kuadrat dapat memiliki 2 (dua) akar , satu akar , atau tidak mempunyai akar
  • Penyelesaian persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan : Pemfaktoran, Melengkapkan bentuk kuadrat dan menggunakan rumus kuadrat

Skema bentuk dan penyelesaian persamaan kuadrat

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan pemfaktoran dilakukan dengan cara mengubah bentuk umum ax2+ bx+ c=0 menjadi bentuk faktor (x –α) (x -β)=0
Langkah-langkah penyelesaian

  • Ubah ke bentuk faktor (x – α) (x – β)=0
  • Tentukan akar-akarnya dengan (x – α)=0 atau (x – β)=0 , sehingga akar-akarnya x1=α atau x2=β.

Bentuk ini difaktorkan menjadi x (x-m) =0

Contoh :
Tentukan akar-akar persamaam kuadrat x2 + 6x = 0 ;

Jawaban :

x2 + 6x = 0
x(x + 6) = 0
x = 0 atau x+ 6 =0
x = 0 atau x = – 6

Bentuk  ax2 +bx +c = 0

untuk a =1  , x2 + bx +c = 0
Bentuk faktor dari persamaan kuadrat untuk a =1  adalah (x+α) (x+β)=0
x2 + αx + βx + αβ = 0
x2 + (α + β)x + αβ = 0

Perhatikan skema berikut :

Jadi persamaan kuadrat x2 + bx +c = 0 dapat difaktorkan menjadi  (x+α) (x+β)=0
Jika ada bilangan a dan b sehingga (x+α) = b dan  ab= c

Contoh :
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x2 – 5x – 24 =0

Jawaban :

Bentuk Faktor dari x2 –5x –24 =0 adalah :
(x – 8) (x+3)=0
(x – 8) = 0 atau (x+3) = 0
Jadi ,  akar-akarnya adalah  x = 8 atau x= -3

Untuk a ‡ 1

ax2 +bx +c = 0 dapat difaktorkan jika ada bilangan a  dan b sehingga (a+b) = b dan  ab= ac
Bentuk faktor dari persamaan kuadrat untuk a ¹1  adalah a (x+  ) (x+ ) = 0

Contoh 2
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 3x2 +7x +2 =0

Jawaban

(3x +1) (x+2)=0

(3x+1) = 0 atau (x+2) = 0

Jadi , akar-akarnya adalah  x = -1/3 atau x = -2

Penyelesaian persamaan kuadrat dengan kuadrat sempurna

Tidak semua persamaan kuadrat mudah difaktorkan, hanya persamaan kuadrat yang akarnya rasional saja yang mudah difaktorkan. Persamaan kuadrat yang sulit difaktorkan dapat diselesaiakn dengan kuadrat sempurna atau rumus kuadrat.

Persamaan kuadrat dapat diubah kebentuk kuadrat sempurna yaitu x2= p atau (x-m)2 = p

Bentuk  ax2 + c = 0

Langkah-langkah

  • Ubah ke bentuk x2= p
  • Tentukan akar dengan sifat

Contoh
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat  x2 – 9= 0  !

Jawaban :


Bentuk  ax2 +bx + c = 0

Langkah-langkah :

  • Ubah ke bentuk kuadrat sempurna (x-m)2= p dengan rumus
  • Tentukan akar menggunakan sifat


Contoh 1

Tentukan akar persamaan kuadrat x2 + 4x –2 =0 dengan kuadrat sempurna !

Jawaban :

Contoh 2

Tentukan akar persamaan kuadrat 2x2 + 4x +1 =0 dengan kuadrat sempurna !

Jawaban

Penyelesaian persamaan kuadrat dengan Rumus Kuadrat

  • Rumus ini juga dikenal dengan nama rumus ABC
  • Dapat digunakan untuk semua bentuk Persamaan Kuadrat
  • Menjadi alternatif terakhir jika persamaan kuadrat tidak dapat difaktorkan atau terlalu sulit dengan rumus kuadrat sempurna.

Contoh

Tentukan akar persamaan kuadrat 2x2 –3x –9 =0 dengan rumus ABC !

Jawaban

Next entries »
Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.