Archive for Desember 24, 2009

MUKMIN YANG BAHAGIA

MUKMIN YANG BAHAGIA

Setiap orang pasti mendambakan hidup bahagia, aman, nyaman, dan sejahtera apalagi seseorang yang beriman sudah pasti menginginkan kedamaian hidup, baik di dunia terlebih lagi di akhirat kelak. Sebab kehidupan di akhirat jauh lebih berarti dibandingkan kehidupan di dunia yang sifatnya sementara “sedang kehidupan akhirat adalah lebih baik dan lebih kekal”. (QS. Al A’laa (87) : 17).

Al Qur’an memberikan resep untuk menjadi mukmin yang bahagia.

Pertama : Senantiasa berusaha untuk khusyu’ didalam sholat. Sholat adalah sarana komunikasi hamba dengan sang penciptanya apabila sarana tidak baik tentunya akan terjadi sebaliknya, maka muaranya di dalam hati. Rasulullah Saw sering bersabda kepada bilal “Wahai Bilal…! Mari kita beristirahat dengan melaksanakan sholat. Sholat yang khusyu’ akan mencegah seseorang dari keinginan untuk melakukan kemungkaran, kejaliman, serta perbuatan tercela lainnya. Hal ini akan membuat seseorang merasa aman karena tidak menyakiti diri ataupun orang lain. Sholat yang khusyu’ dan benar menjadi jaminan baiknya amal-amal yang lain di yaumul hisab nanti. Sesungguhnya amal seorang hamba yang pertama kali di hisab pada hari kiamat nanti adalah sholatnya. Apabila nilai sholatnya baik maka amal-amal yang lain dikategorikan baik. Sebaliknya jika sholatnya buruk, maka amal-amal lain akan dianggap buruk” (Al Hadis).

Kedua : Meninggalkan aktifitas yang tidak bermanfaat, sikap hura-hura dan menghamburkan harta. Seorang mukmin sadar betul bahwa alam dunia yang ditempati sekarang hanyalah persinggahan sementara, sedangkan tujuan akhirnya adalah akhirat. Alam dunia adalah sebuah lading tempat bercocok tanam yang hasilnya dapat diterima pada hari pembalasan. Nabi bersabda yang artinya  “Dunia adalah lading akhirat,” Maka sebagai orang orang mukmin yang cerdas tidak akan pernah membiarkan waktunya berlalu tanpa amal sholeh, sebab orang mukmin telah diajarkan prinsip hidup agar senantiasa beramal sholeh “Demi masa, sesungguhnya manusia dalam kerugian terkecuali mereka mau beramal sholeh dan saling menasehati dalam hal kebenaran dan kesabaran” (Qs. Al Ashr : 1-3).

Ketiga : Berusaha menunaikan hak fakir miskin sebab dari sebagian harta yang ada pada mereka adalah hak fakir miskin. Seorang mukmin bertaqwa tidak akan berani menikmati hartanya dengan tenang sementara disekelilingnya masih ada orang-orang yang kelaparan, ia menyadari bahwa orang teraniaya akan dikabulkan Allah SWT, sehingga bila tidak segera untuk memberikan hak mereka dikhawatirkan datangnya azab Allah yang disebabkan oleh kelalaian tersebut.

Keempat : Senantiasa berusaha untuk menjaga kemaluannya, nafsunya tidak diumbar kepada orang yang bukan muhrim, karena seorang mukmin menyadari bahwa balasan orang yang menahan hawa nafsunya kecuali terhadap pasangan-pasangan mereka adalah surga “Dan adapun orang-orang yang takut kepada keagungan Tuhannya dan menahan diri dari keinginan hawa nafsu, maka sesungguhnya syurgalah tempat tinggalnya “(Qs. Annaziat (79) : 40-41). Bagi seorang mukmin akan lebih memilih untuk mengabaikan kenikmatan sesaat di dunia dan tidak mau menukarnya dengan azab Allah yang sangat dahsyat.

Kelima : Selalu memegang amanah dengan baik, amanah dalam arti yang luas. Bila ia seorang pelajar yang tekun dalam mencari ilmu lalu ia sampaikan ilmu tersebut kepada orang lain dengan penuh tanggung jawab. Bila ia seorang pedagang, maka akan berusaha untuk selalu jujur dan tidak mengurangi timbangan karena ia tahu bahwa dosa teramat besar di sisi Allah SWT.” Celakalah bagi orang yang curang yaitu apabila ia menimbang untuk dirinya ia lebihkan dan apabila ia menakar untuk oranglain ia kuragi” (Qs. Al Mutoffifin : 1-2). Bila ia seorang pejabat akan memerintah dengan adil dan memposisikan diri sebagai pelayan bagi rakyat yang ia pimpin bukan sebailknya ingin selalu dilayani. Inilah yang disebut dengan sifat amanah pada bidang dan profesi masing-masing. Intinya mukmin yang berbahagia adalah yang menjadikan sholatnya sebagai penasehat dan ada yang muhasabah terhadap diri sendiri agar setiap waktu yang ia lewati terisi hal-hal yang baik bermanfaat bagi dirinya, keluarganya maupun orang lain dan mukmin yang memiliki kepekaan terhadap penderitaan yang dialami orang lain, ia dermawan tidak rakus dantidak mau menang sendiri juga seorang mukmin yang mampu menjaga kehormatan dirinya untuk tidak melakukan hal-hal yang keji dan mungkar karena takut kepada Allah. Akhirnya semoga kita semua ditakdirkan mampu menjadi hamba-hamba yang tawadhu, sabar, dan taqwa kepada Allah, itulah mukmin sejati.

SISTEM KOPLING DAN CARA KERJANYA

SISTEM KOPLING DAN CARA KERJANYA

sistem kopling yang akan kita bicarakan disini adalah sistem kopling manual yang selanjutnya kita sebut dengan kopling saja.

Berikut ini ditampilkan gambar komponen penting pendukung kopling, secara urut : Fly wheel atau roda gila, Clutch disc atau plat kopling, Clutch cover atau dekrup dan Clutch release bearing atau Drek lahar.

Susunanya di dalam mobil adalah : Kopling atau Clutch yaitu peralatan transmisi yang menghubungkan poros engkol dengna poros roda gigi transmisi. Fungsi kopling adalah untuk memindahkan tenaga mesin ke transmisi, kemudian transmisi mengubah tingkat kecepatan sesuai dengan yang diinginkan.

Dalam keadaan normal, dimana fungsi kopling bekerja dengan baik, begitu pengemudi menekan pedal kopling, tenaga mesin akan di putuskan, karena saat pedal ditekan maka gaya tekan itu akan mendorong release fork dan release fork akan mendorong release bearing. Sehingga release bearing akan mengangkat mendorong pegas diaprahgma dan preaseure palte, clutch disc akan terlepas dengan flywheel. Serentak roda gigi akan terlepas dari pengaruh putaran mesin. Kondisi inilah yang memungkinkan terjadinya perpindahan roda gigi pada transmisi. Dewasa ini terdapat berbagai jenis kopling diantaranya kopling gesek, kopling fluida, koping sentrifugal, dan kopling magnet. Tetapi yang paling banyak digunakan oleh kendaraan bermotor adalah jenis koping gesek tipe plat dan kopling gesek tipe kerucut, dimana untuk kopling tipe plat ini bisa berupa kopling plat basah dan kopling plat kering. Kopling plat basah adalah kopling yang plat-platnya direndam dengan minyak pelumas. Kebanyakan kopling jenis ini digunakan oleh sepeda motor. Sedangkan jenis kopling plat kering adalah jenis kopling yang plat-platnya tidak direndam oleh minyak pelumas. Umumnya digunakan pada mobil dan sepeda motor tua buatan Eropa. kelebihan dari kopling plat basah adalah tidak cepat aus, karena dilumasi oleh oli. Kekurangannya, hambatan geseknya kurang sehingga tidak bisa memindahkan tenaga seefektif kopling kering. Apalagi bila di tambahakan bahan aditif  pelicin, kopling bisa slip. Kopling kering cepat aus karena tidak terkena oli tetapi tenaga pemindahan dari mesin ke roda gigi lebih baik.

Pada umunya, bagian utama kopling terdiri atas 3 macam, yaitu unit kopling, tutup kopling, dan unit pembebas. Unit kopling terdiri atas plat kopling, plat tekan, dan pegas kopling. Tutup kopling diikat oleh roda gila, sedangkan didalamnya dipasangkan pada roda poros persneling dan ditempatkan diantara roda gila dan plat tekan. Plat tekan akan menekan plat kopling terhadap roga gila dengan adanya tekanan dari pegas-pegas koping. Peranti ini dibuat dari bahan besi tuang dimana bagian permukaannya dibuat halus dan rata. Sedangkan plat kopling di buat untuk memberikan gesekan yang besar pada roda gila dan plat tekan serta ditempatkan diantara keduanya. Pada kedua permukaan plat kopling ini dipasangkan kampas dan dikeling dengna paku keling, dan biasanya pada permukaan platnya di beri kepingan logam. Fungsinya adalah untuk memperkuat dan juga untuk menyalurkan panas. Selain itu, pada bagian tengah plat kopling terdapat pegas torsi. Pegas torsi berfungsi untuk mengurangi kejutan-kejutan yang terjadi pada waktu kopling bekerja dan untuk mencegah kemungkinan pecahnya plat kopling atau kerusakan  lainnya seperti bengkoknya plat kopling

Cara Kerja :

Fly wheel atau roda gila meneruskan sekaligus menyimpan energi dari Crank Saft (kruk as) mesin saat mesin hidup (berputar), Plat kopling menjadi satu-satunya perantara tenaga mesin dengan Porseneling kita yang akhirnya tenaga ini akan diteruskan ke Roda. Sedangkan Dekrup bekerja sebagai pengatur kapan tenaga mesin di teruskan dan kapan tenaga mesin tidak diteruskan, hal ini dilakukan oleh kaki kita saat menginjak atau melepas Sistem Kopling


Kopling (clutch) terletak di antara motor dan transmisi, dan berfungsi untuk menghubungkan dan memutuskan putaran motor ke transmisi.
Syarat-syarat yang harus dimiliki oleh kopling adalah :
1). Harus dapat menghubungan putaran motor ke transmisi
dengan lembut.
2).Komponen-komponen Kopling

Kopling atau Clutch yaitu peralatan transmisi yang menghubungkan poros engkol dengna poros roda gigi transmisi. Fungsi kopling adalah untuk memindahkan tenaga mesin ke transmisi, kemudian transmisi mengubah tingkat kecepatan sesuai dengan yang diinginkan.

3).fungsi kopling

Dalam keadaan normal, dimana fungsi kopling bekerja dengan baik, begitu pengemudi menekan pedal kopling, tenaga mesin akan di putuskan, karena saat pedal ditekan maka gaya tekan itu akan mendorong release fork dan release fork akan mendorong release bearing. Sehingga release bearing akan mengangkat mendorong pegas diaprahgma dan preaseure palte, clutch disc akan terlepas dengan flywheel. Serentak roda gigi akan terlepas dari pengaruh putaran mesin. Kondisi inilah yang memungkinkan terjadinya perpindahan roda gigi pada transmisi. Dewasa ini terdapat berbagai jenis kopling diantaranya kopling gesek, kopling fluida, koping sentrifugal, dan kopling magnet. Tetapi yang paling banyak digunakan oleh kendaraan bermotor adalah jenis koping gesek tipe plat dan kopling gesek tipe kerucut, dimana untuk kopling tipe plat ini bisa berupa kopling plat basah dan kopling plat kering. Kopling plat basah adalah kopling yang plat-platnya direndam dengan minyak pelumas. Kebanyakan kopling jenis ini digunakan oleh sepeda motor. Sedangkan jenis kopling plat kering adalah jenis kopling yang plat-platnya tidak direndam oleh minyak pelumas. Umumnya digunakan pada mobil dan sepeda motor tua buatan Eropa. kelebihan dari kopling plat basah adalah tidak cepat aus, karena dilumasi oleh oli. Kekurangannya, hambatan geseknya kurang sehingga tidak bisa memindahkan tenaga Fungsi kopling adalah sebagai penghubung dan pemutus tenaga putaran mesin dari poros engkol. Pada umumnya kopling terletak diantara primer reduksi dan transmisi, atau untuk tipe lain yang terletak pada poros engkol. Ada dua jenis kopling yang digunakan pada sepeda motor, yakni:
a. Kopling Otomatis adalah kopling yang bekerja berdasarkan gaya sentrifugal, yang menghubungkan serta memutuskan tenaga mesin, tergantung dari putaran mesin itu sendiri. Susunan pemasangan komponen-komponen pada kopling otomatis akan menempatkan kanvas kopling dan pelat kopling merenggang,
hal ini berbeda dengan susunan pemasangan komponen-komponen pada kopling manual, dimana antara pelat dan kanvas kapling merapat. Pada saat mesin putaran lambat, kanvas dan pelat kopling masih merenggang sehingga putaran mesin dari poros engkol belum terhubung menuju transmisi dan roda belakang.
Pada saat putaran mesin bertambah gaya sentrifugal mulai bekerja pada pemberat kopling sehingga pemberat bergerak menekan pelat kopling,
hal ini akan menghasilkan merapatnya kanvas dan pelat kopling sehingga putaran mesin dan poros engkol akan dihubungkan ke transmisi dan akan dilanjutkan ke roda belakang.

b. Kopling Manual adalah kopling yang bekerja secara manual yang dilakukan oleh pengendara itu sendiri. Mekanisme kerja kopling adalah putaran mesin dari poros engkol yang akan diteruskan oleh kopling menuju transmisi dan ke roda belakang, pada saat kanvas kopling dan pelat kopling merapat, akan tetapi putaran mcsin dari poros engkol menuju ke transmisi akan terputus jika kanvas dan pelat kopling merenggang.

Kopling adalah alat yang memenuhi persyaratan.

a. Dapat meneruskan putaran poros engkol ke transmisi (persneling).
b. Dapat melepaskan hubungan antara poros engkol mesin dengan transmisi.
c. Dapat meneruskan perputaran poros engkol mesin ke transmisi secara berangsur-angsur secara merata tanpa hentakan.

Bagian-bagian kopling
Kopling terdiri atas dua bagian utama:
a. Rumah kopling (Clutch outer drum) yang ikut bérputar dengan poros engkol digerekkan oleh roda gigi pada ujung poros engkol).
b. Pusat kopling (Clutch center) yang dipasang pada ujung poros utama persneling.

Untuk meneruskan perputaran rumah kopling ke pusat kopling dipakai susunan pelat-pelat gesek (kanvas kopling) dan pelat-pelat baja yang saling bersentuhan.
a. Pelat-pelat gesek (friction plates) mengikuti gerak memutar rumah kopling (lidah-lidahnya terkait pada rumah kopling).

b. Pelat—pelat baja mengikuti gerak memutar pusat kopling (lidah-lidahnya terkait pada spie-spie pada pusat kopling).

Agar pelat-pelat gesek dan pelat-pelat berputar bersama-sama sebagai satu kesatuan maka ditekan bersama oleh pegas-pegas yang kuat. Dengan mengurangi tekanan pegas arah susunan pelat-pelat gesek atau pelat baja, maka kopling akan slip, ialah perputaran rumah kopling tidak diteruskan seluruhnya ke pusat kopling. Bila tekanan pegas atas susunan pelat-pelat gosok/pelat-pelat baja ditiadakan, maka pusat kopling tidak digerakkan lagi 0Ieh perputaran rumah kopling. Alat yang mengatur besarnya tekanan pegas atas susunan pelat-pelat gesek pelat-pelat baja adalah pelat pengangkat (lifter plate) yang digerakkan oleh handel kopling.

Prinsip Kerja Kopling

kopling primer berfungsi untuk melayani start jalan, sedangkan kopling sekunder berfungsi untuk melayani pengoperan gigi.
a. Kopling Primer
Terletak pada poros engkol yang terdiri dari:
(1) Outer clutch berputar bebas pada poros engkol,
(2) Inner clutch berputar mcngikuti putaran poros engkol.
(3) Drive plate (bandul) berupa kanvas yang terletak pada inner club, yang berfungsi sebagai pcnghubung putaran dari Inner Club ke Outer Clutch.

(4) Drive gear sebagai penghubung cuter clutch dengan kopling sekunder Cara kerja kopling primerPada saat mesin berputar stasioner (lambat), drive plat (bandul)
belum bekerja, sehingga outer clutch praktis belum berfungsi.
baik pada saat memindah gigi perseneling ataupun pada saat start
jalan.

Keterangan:
1. Roda gigi penggerak primer
2. Roda gigi yang digerakkan primer
3. Rumah kopling
4. Pelat pendorong
5. Rol pemberat
6. Pelat kopling
7. Bush kopling
8. Penutup
9. Pelat gesek
10. Rol pemberat
11. Poros utama
12. Penahan rol
13. Poros engkol

Secara lengkap dan umum cara kerja kopling dapat dijelaskan
sebagai berikut :
1. Handel kapling ditekan.

2. Tangkai pelepas kopling (clutch release lever) tertarik oleh kabel kopling.
3. Nok pelepas (release cam) pada poros tangkai pelepas kopling mendorong batang pengangkat (lifter rod).

4. Batang pengangkat menekan pengangkat (lifter pin) dan pelat pengangkat (lifter plate).
5. Pelat pengangkat menekan pegas-pegas kopling dan mendorong piringan penekan (pressure plate) sehingga menjauhi susunan pelat-pelat gesek kopling.
6. Terjadilah jarak renggang kecil diantara pelat-pelat gesek dan pelat-pelat baja sehingga perputaran rumah kopling tidak diterusan lagi ke pusat kopling. Dengan melepaskan handel kopling secara perlahan-lahan maka gaya tekan pegas sedikit demi sedikit diteruskan kembali pada susunan pelat-pelat gesek kopling, yang pada akhimya pelat-pelat baja beserta pusat kopling mulai mengikuti perputaran rumah kopling secara merata.

Mekanisme kopling terdiri atas:
1. Gigi primer kopling,
2. Rumah kopling
3. Kanvas kopling (pelat gesek),
4· Pelaf kopling.
5. Pegas kepling,
6. Pengikat kopling (baut),
7. Kopling tengah
8. Pelat tutup dan pelat dasar,
9. Klep penjamin, dan
10. Batang penekan.

Kopling Mekanik

Cara kerja kopling mekanik ialah apabila mesin dihidupkan dan perseneling masuk, sedangkan handel kopling tidak ditarik maka kopling bekerja menghubungkan putaran mesin sampai ke poros primer persneling,
putaran poros engkol diteruskan oleh roda gigi utama (primer) poros engkol ke roda gigi utama (primer) kopling, sehingga rumah kopling dengan kanvasnya ikut berputar. Karena kanvas kopling dijepit oleh pelat kopling yang mendapat tekanan dan pegas-pegasnya, maka putaran kanvas diteruskan ke pelat-pelat tersebut, selanjutnya putaran ini diteruskan ke poros primer persneling.Apabila pada saat mesin hidup dan persnelmg masuk, handel kopling ditarik maka tali kopling menarik tuas dan tuas mendorong pen pendorong. Pen pendorong menekan tutup pegas sehingga pelat dasar mundur, dengan demikian pelat-pelat penjepit kanvas kopling merenggang, yang berarti pula putaran mesin hanya sampai ke kanvas
kopling saja, hal inilah yang disebut kopling memutus hubungan.

pada saat kendaraan sedang berjalan proses pemindahan gigi adalah
sebagai berikut :
Sewaktu pedal persneling (transmisi) ditekan, handel kopling akan
memutar kam pengangkat (lifter cam), sehingga posisi peluru memiliki
penahan bola yang merapat dengan kam pengangkat serta akan berpindah tempat.

Hal ini akan menyebabkan kam pengangkat terdorong dan
selanjutnya akan mendorong kopling luar (outer cluth), akibat
terdorong outer cluth maka posisi pelat kopling yang sedang ditekan
0leh pemberat bergerak menjauhinya, hal ini akan mengakibatkan pelat
dan kanvas kopling kembali merenggang sehingga pengoperan gigi
dengan mudah dapat dilakukan, karena akibat merenggangnya kanvas
dan pelat kopling, hal ini berarti putaran poros engkol ke transmisi
terputus.

Kopling Otomatis
Kopling otomatis ialah kopling yang cara bekerjanya diatur oleh
tinggi atau rendahnya putaran mesin itu sendiri, seperti halnya dengan
kopling mekanik, maka kopling otomatis juga ada yang berkedudukan
pada poros engkol dan ada juga yang berkedudukan pada poros primer
persneling. Mengenai mekanisme atau peralatan koplingnya tidak
berbeda dengan peralatan yang terdapat pada kopling mekanik, hanya
tidak terdapat perlengkapan handel dan sebagai penggantinya pada
kopling atomatis ini terdapat alat khusus yang bekerja secara otomatis
pula, yakni:
(1) Otomatis kopling, yang terdapat pada kopling tengah, untuk
kopling yang berkedudukan pada pores engkol.
(2) Rol pemberat yang berguna untuk menekan pelat dasar waktu digas.
(3) Pegas kopling yang lemah, berguna pada waktu mesin hidup lambat,koplingnya dapat netral,
(4) Pegas pengembali untuk mengembalikan dengan cepat dari posisi
masuk ke posisi netral, bila mesin hidup dalam putaran tinggi menjadi  rendah.

Kopling Ganda
Kopling ganda terdiri dari kopling primer yang bekerja berdasarkan
gaya sentrifugal dan kopling sekunder yang bekerja secara
konvensional atau disebut juga garpu kopling (shift clutch).
Bagian-bagian kopling primer adalah:
(1) Clutch Shoe (sepatu kopling) yang berputur mengikuti poros engkol.
(2) Clutch Drum (rumah kopling) yang berhubungan dengan kopling konvensianal.

Mekanisme kerja kopling ganda, yaitu:
Pada saat poros engkol putaran rendah (mesin putaran lambat),
clutch shoe (sepatu kopling) belum mengembang, karena masih tertahan
oleh pegas, dengan demikian clutch drum (silinder kopling)-pun belum
berputar, pada saat putaran mesin mulai meninggi maka sepatu kopling
mulai mengembang karena adanya gaya snritrifugal. Dengan mengembangnya sepatu kopling maka silinder kopling akan ditekan (seperti proses rem tromol) dan berputar. Selanjutnya akan meneruskan putarannya ke kopling sekunder dan kopling sekunder akan melakukan prosesnya Seperti halnya kopling kanvensional yang telah dijelaskan,
kopling ganda digunakan pada sepeda motor Honda dengan tujuan untuk
mengatasi hentakan pada saat sepeda motor masuk gigi satu pada awal start.dapat memindahkan tenaga motor ke transmisi tanpa
slip.
3). Harus dapat memutuskan hubungan dengan sempurna dan cepat.

KONSTRUKSI KOPLING

PERSAMAAN LINGKARAN DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

PERSAMAAN LINGKARAN DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

  1. Persamaan lingkaran
    1. Defenisi

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang digambarkan pada bidang cartesius.
Titik tertentu tersebut pusat lingkaran dan jarak yang sama disebut jari-jari.
Beberapa formula menentukan jarak

1. Jarak antara dua titik A (X1, Y1) dan B (X2, Y2), ditentukan oleh
2. Jarak titik A (X1, Y1) terhadap garis lurus ax+by+c = 0 ditentukan oleh

  1. Persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r
    Dengan menggunakan teorema phytagoras diperoleh

Persamaan lingkaran dengan pusat 0 (0,0) dan jari-jari r ditentukan oleh

Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0(0,0) dan jari-jari:

Jawaban: a. Pusat di 0(0, 0) dan r =4

b. Pusat di 0 (0,0) dan r =

  1. Persamaan lingkaran yang berpusat di A (a,b) dan berjari-jari r

Persamaan lingkaran (x-a)2+(y-b)2=r2 dinamakan persamaan lingkaran dengan pusat a(a,b) dari jari-jari r.

Contoh:
1. Tentukan persamaan setiap lingkaran berikut ini
Pusat (4, 3) dan jari-jari=6
Jawaban: pusat (4, 3) dan r=6; r2= 36
Persamaan lingkaran
(x-4)2+(y-3)2 = 36

2. Tentukan persamaan tiap lingkaran berikut ini
Pusat A(5, -1) melalui titik P (-1, 7)
Jawaban : pusat A (5, -1) dan melalui titik P(-1, 7)
Persamaan lingkaran

3. Tentukan pusat dan jari-jari setiap lingkaran berikut (x-1)2 + (y-2)2 = 25
Jawaban : Pusat A (1, 2) dan r = 5

Posisi suatu titik P (c, d) terhadap lingkaran L= ( x – a )2 + ( y – b )2 = r2
Posisi suatu titik P (c, d ) terhadap lingkaran L= ( x – a )2 + ( y – b )2 = r2 dilakukan dengan mensubtitusikan p(c, d) keliling lingkaran tersebut dan membandingkan dengan nilai r2, kemungkinan posisi titik p (c, d ) sebagai berikut:
1. P (c, d ) didalam lingkaran L

2. P (c, d ) pada lingkaran L

3. P (c, d ) diluar lingkaran L

Contoh 01 :

Tampa menggambar pada bidang cartesius, tentukan posisi setiap titik berikut ini terhadap lingkaran yang disebut.
a. P(1, 1) dan lingkaran
Jawaban;
P(1, 1) dan
Jadi titik P (1, 1) terlatak
Contoh 02:
Tentukan batas-batas nilai a agar
a) P(-a, 1) terletak didalam lingkaran maka

  1. BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN
    1. Menyatakan bentuk umum persamaan lingkaran
    Contoh: Tentukan bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di titik A (3, 4) dan berjari-jari = 3
    Jawaban:

Jadi bentuk umum persamaan lingkarannya adalah x2+y2-6x-8y+16=0

2. Posisi suatu titik T (p, q) terhadap lingkaran

1) T(p, q) didalam lingkaran

2) T(p, q) pada lingakaran L

3) T(p, q) diluas lingkaran

Contoh : Tentukan nilai K agar titik N (k, 2) terletak di luar lingkaran
Jawaban: Kn > 0 = K2 + 22 + 4 K – 3.2 – 10 > 0
= K2 + 4 K – 12 > 0
= ( k + 6 ) ( K – 2 ) > 0
= k < -6 atau K > 2
3. jarak titik A (x1, y1) terhadap lingkaran L yang berpusat di P (a, b) dengan jari-jari r
i. Jika titik A (x1, y1) pada lingakaran L maka L (x1, y1) = 0 dan jarak nya = 0
ii. Jika titik A (x1, y1) di dalam lingkaran L maka L (x1, y1)< ) dan
– Jarak terdekat = AB di tentukan oleh AB = r – AP
– Jarak terjauh = AC ditentukan oleh AC = AP + r dengan jarak AP = jarak titik A kepusat lingkaran
iii. JIka titik A (x1, y1) di luar lingkaran L maka L (x1, y1) > 0 dan
– Jarak terdekat = AB ditentukan Oleh AB = AP – r
– Jarak terjauh = AC = =

  1. Kedudukan garis terhadap lingkaran
    Kedudukan garis G dengan persamaan y = mx + k terhadap lingkaran ditentukan berdasarkan diskriminasi D = b2 – 4 ac
    i. Bila D > 0 maka garis G memotong lingkaran L di dua titik berlainan
    ii. Bila D = 0 maka garis G menyinggung lingkaran
    iii. Bila D < 0 maka garis G tidak memotong maupun menyinggung lingkaran L
    Contoh: Selidikilah kedudukan setiap garis dibawah ini dengan , dengan garis G; y=3x+2
    Jawaban: Hasil subsitusi 10×2 + 13 x +3 = 0
    Hasil test diskriminan D = 132 – 14 x 10 x 3
    = 169 – 120
    = 49 > 0
    Kesimpulan:
    Garis G: y = 3x +2 memotong lingkaran L didua titik berlainan.
  2. Persamaan garis singgung lingkaran
    (1). Persamaan garis singgung lingkaran lingkaran melalui titik singgung T (X1, Y1) pada lingkaran L
    a. Lingkaran L berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r
    X1X + Y1Y= r2
    Contoh:
    Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (1, -2)
    Jawaban:
    Persamaan garis singgung x-2y = 5 atau x – 2y – 5 = 0
    b. lingkaran L perpusat di A (a, b) dan berjari-jari r
    (x1 – a) (x – a) + (y1-b) ( y – b) = r2
    Contoh: Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik singgung A (-3, 1)
    Jawaban: Persamaan garis singgung
    ( -3 -1) (x – 1) + ( a – 4 )( y – 4 ) = 25
    -4 ( x – 1) -3 (y – 4) -25 = 0
    -4x + 4 -3x + 12 – 25 = 0
    -4x – 3 y – 9 = 0
    4x + 3y + 9 = 0
    Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (-3, 1) adalah 4x + 3y + 9 = 0
    c. Lingkaran L dengan bentuk umum x2 + y2 + Ax + By + C= 0

    1. Persamaan garis singgung dengan gradient tertentu (m)
      i. Lingkaran L berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r

Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan gradient m di tentukan oleh formula
ii. Lingkaran L berpusat di A (a, b) dan berjari-jari r penentuan garis singgung pada lingkaran serupa dengan penentuan garis singgung pada lingkaran dengan gradient tertentu (m).

Dengan mensubtitusikan x menjadi (x – a) dan y menjadi ( y – b) pada persamaan garis singgung di peroleh

  1. Persamaan garis singgung melalui sebuah titik di luar lingkaran
    Persamaan lingkaran
    1) X2 + y2 = r2
    2) (x – a)2 + (y – b)2 = r2
    3) x2 + y2 + Ax + By + C= 0
    Persamaan garis polar
    1. x1 x + y1 y = r2
    2. (x1 – a) (x – a) + (y1-b) ( y – b) = r2
    3.
  2. HUBUNGAN DUA LINGKARAN (PENGAYAAN)

MIsalnya lingkaran L1 dengan pusat P1 dan berjari-jari r1 serta lingkaran L2 dengan pusat P2 dan berjari-jari r2, maka hubungan ke dua lingkaran tersebut depat diuraikan sebagai berikut
i. L1 Sepusat dengan L2 = syaratnya
ii. L1 dan L2 bersinggungan didalam = syaratnya
iii. L2 didalam L1 = syaratnya
iv. L1 berpotongan dengan L2 = syaratnya

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan jari-jari r = 2+
Jawab:
Pusat di 0 (0, 0) dan r = 2+

+3

atau

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan melalui masing-masing titik berikut ini A (2, 4)
Jawab:
Karena lingkaran x2+y2=r2 melalui titik A (2, 4) maka nilai r2 ditentukan oleh r2 =22 + 42 r2 = 4 + 16
r2 = 20
3. Tentukan tempat kedudukan titik-titik P(x, y) yang memenihi setiap hubungan berikut.
a. apa bila A (0, 1) dan B (0, 16)
Jawaban:
PB = 4PA PB2 =16PA2
(0 – x)2 + (16 – y)2 = 16

4. Tampa menggambar pada bidang cartesius, tentukan posisi titik P(a, b) terhadap lingkaran L berikut ini P(-1, 6) dan
Jawaban : P(-1, 6) dan L x2 + y2 = 40
(-1)2 + 62 = 3 < 40
5. Tentukan pusat dan jari-jari setiap lingkaran berikut ini.
a. (x + 3)2 + (y – 2)2 = 9
b. (x + 4)2 + (y – 5)2 = 24
Jawaban:
a. Pusat A (-3, 2) dan r = =3
b. Pusat B (-4, -5) dan r = =
6. Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya merupakan garis yang menghubungjkan titik A (1, 5) dengan B (9, -1)
Jawaban:

7. Tentukan nilai a agar titiuk P (a, ) terletak pada lingkaran 2+y2=12
Jawaban:
P (a, ) terletak pada lingkaran 2+y2=12
2+3=12 2 =12-3
2 =9
2 =32
= ±3 jadi a = 3 – 4 = -1 dan

8. Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter garis AB dengan A (3, 2) dan B (0, -1)

Persamaan lingkaran

9. Tentukan nilai n agar titik T (3, n) terletak pada lingkaran
Jawaban:
Nilai kuasa titik r (3, n) sama dengan nol, hal ini berarti:
Kr = 32 + n2 + 15 – 13 n + 6 = 0
= 9 + n2 + 15 – 13 n + 6 = 0
= n2 – 13 n + 30 = 0
= (n – 10) (n – 3) = 0
= n = 10 atau n = 3
10. Tentukan titik potong garis y=2x dengan lingkaran
Jawaban:
Hasil subsitusi:
x2 + 2 x – 15 = 0
= (x – 5) (x – 3) = 0
= x1 = -5 atau x2 = 3
Penemuan nilai y
X1 = -5; Y = 2 (-5) = -10
X2 = 3; Y = 2 (3) = 6
Jadi titik potong dengan lingkaran adalah ( -5, -10) dan (3, 6)

11. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik singgung B (12, -5)
Jawaban:
Persamaan garis singgung

12. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung B (0, 9)
Jawaban:
Persamaan garis singgung

Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung B ( 0, 9) adalah

13. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (2, 1)
Jawaban:
Titik singgung A (2, 1) berarti x1 = 2 dan y1 =1 persamaan garis singgung

VEKTOR

Vektor
Vektor adalah garis yang memiliki panjang dan arah. Simbol untuk vektor, bisa berupa overline variable (misalnya: atau ) bisa juga dalam simbol dot to dot variabel (misalnya: atau , yang artinya titik dimulai dari pangkal A ke titik B).

Vektor dapat ditulis dalam bentuk matriks kolom.
Misalnya: =>
Vektor dalam bentuk matriks kolom dapat dibuat lebih *hemat tempat* dengan pemberian unsur transpos matriks. Jadi, matriks juga dapat ditulis dalam bentuk . Simbol T berarti *tranpos*.

Selain itu matriks dapat ditulis dalam bentuk penambahan vektor-vektor satuan.
Sebagai contoh: = 3 + 5. (Bentuk ini adalah bentuk yang paling efektif, karena menunjukkan elemen vektor satuan.. Tapi, kurang enak dibaca.. ~~a)
Di sini adalah vektor , sedangkan adalah vektor .

Operasi vektor bisa berupa:
1. Penjumlahan (dan pengurangan): tinggal menjumlahkan elemen-elemen vektor yang sesuai
2. Perkalian dengan skalar (menghasilkan vektor yang sejajar dengan vektor awal)
3. Perkalian dengan vektor (akan dibahas lebih lanjut).

Contoh Soal 1: Jika = dan = , maka berapakah + ?
Jawab: + = + = =

Contoh Soal 2: Jika = 2 + 5 -8, maka berapakah 2?
Jawab: 2 = 2(2 + 5 -8) = + 5 -16. (bentuk ini adalah bentuk lain dari vektor. Lihat penjelasan awal).

Contoh Soal 3: Jika = 6 -5 -, dan = 3 + , dan = -2 +5, dan = 2+ 2, maka berapakah ?
Jawab: = 2(6 -5 -) – (3 + ) + 2(-2 +5) = 12-10-2-3–4+10
_________= 5 - 3
Atau dapat juga ditulis = .

Panjang vektor dapat ditentukan dengan konsep phytagoras. (perhatikan simbol untuk panjang vektor)..
Contoh soal 4: jika = , berapakah panjang .
Jawab: Panjang vektor = = = .

Contoh soal 5: Jika = +3+5+7+9 + 11. Tentukan panjang vektor !

Jawab: = =

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1 satuan. Lambang vektor satuan bermacam-macam. Di sini akan digunakan simbol .
Contoh Soal 6: = . Apakah vektor adalah vektor satuan?
Jawab: = = 1. Maka adalah vektor satuan (karena panjangnya 1)

Contoh soal 7: Terdapat vektor dimana = 2 + 6j +5k.Tentukan vektor satuan yang searah dan sejajar dengan vektor .
Jawab:
Tentukan panjang vektor = = =
Syarat sejajar dan searah, vektor itu harus dikalikan konstanta yang positif.
= c. … (i)
Syarat ini juga dipenuhi untuk *panjang* vektor. Jadi:
= c.
Panjang vektor satuan adalah 1. Jadi:
1 = c.
Maka, c = = .
Subtitusikan nilai c ini di persamaan awal, maka didapat:
= = = .

Contoh soal 8: Berapakah vektor satuan dari vektor (yang ada di contoh soal nomor 3)?
Jawab:
Soal ini identik dengan soal nomor 7 (hanya beda kata-kata).
Di soal ini, kita mencoba memakai rumus vektor satuan, yang logikanya sudah ada di contoh soal nomor 7.

=

Jadi, = = = .

Vektor Posisi adalah vektor yang berpangkal dari koordinat O, bisa (0,0) atau (0,0,0), dan seterusnya.
Misalnya: = =>

Contoh soal 9: Jika = , sedangkan = . Tentukan vektor !
Jawab:
Dengan digambar, maka kita tahu bahwa + = , maka:
= = =

Ruang Dimensi Vektor menunjukkan di dimensi mana vektor itu berada. Misalnya, vektor itu terletak di dalam ruang, maka dia akan berada di dimensi 3 atau di . Jika vektor itu terletak di bidang, maka vektor itu berada di dimensi . Lalu, apakah dimensi 4 itu ada? Bagaimana cara menggambar vektor di dimensi 4 atau lebih? Hmm..

Sebetulnya, vektor dimensi 4 atau lebih itu ada, tapi vektor ini bersifat *khayal*, dan tidak bisa digambar.
Apakah Dot dan Cross Product berlaku untuk dimensi 4, 5, dan seterusnya…??
Tidak!! Cross Product hanya berlaku di . Namun, dot bisa berlaku di semua dimensi. Namun, pembuktian untuk dot product di dimensi 4 (atau lebih) masih belum ada (dan tidak akan ada). Jadi, kita sebaiknya lihat pembahasan Dot dan Cross Product di dan saja yach.. ^^

Panjang Vektor

Untuk mencari panjang sebuah vektor dalam ruang euklidian tiga dimensi, dapat digunakan cara berikut:

Kesamaan dua vektor

Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya memiliki panjang dan arah yang sama

Kesejajaran dua vektor

Dua Buah Vektor disebut sejajar (paralel) apabila garis yang merepresentasikan kedua buah vektor sejajar.

OPERASI VEKTOR

Perkalian skalar

Sebuah vektor dapat dikalikan dengan skalar yang akan menghasilkan vektor juga, vektor hasil adalah:

Penambahan vektor dan pengurangan vektor

Sebagai contoh vektor a=a1i + a2j + a3k dan b=b1i + b2j + b3k.

Hasil dari a ditambah b adalah:

pengurangan vektor juga berlaku dengan cara yang kurang lebih sama

Vektor satuan

Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang 1 satuan panjang. Vektor satuan dari sebuah vektor dapat dicari dengan cara:

PERKALIAN VEKTOR

Dari Persamaan

Perkalian vektor adalah operasi perkalian dengan dua operand (obyek yang dikalikan) berupa vektor. Terdapat tiga macam perkalian vektor, yaitu perkalian titik (dot product), perkalian silang (cross product) dan perkalian langsung (direct product).

Perkalian titik

Perkalian titik dua buah vektor akan menghasilkan sebuah skalar. Jenis perkalian ini bersifat komutatif.

Untuk vektor satuan terdapat hubungan-hubungan yang khusus dalam operasi perkalian titik, yang merupakan sifat-sifat yang digunakan dalam perkalian titik, yaitu

dan

Atau dapat pula dituliskan dengan menggunakan notasi delta Kronecker , yaitu

Perkalian silang

Hasil suatu perkalian silang dua buah vektor adalah juga sebuah vektor. Perkalian silang bersifat tidak komutatif.

Untuk vektor-vektor satuan terdapat pula hubungan yang mendasari operasi perkalian silang, yaitu

dan atau jika SAMA=1 dan jika BEDA=1

Perkalian langsung

Hasil perkalian langsung dua buah vektor adalah sebuah tensor atau matriks. Perkalian ini tidak bersifat komutatif.

Perkalian langsung dua buah vektor satuan tidak memiliki hubungan yang khusus.

pak dewan \”Time is ruNning Out Muse\”

LIMIT

PENGERTIAN LIMIT

Untuk x mendekati harga tertentu dapat ditentukan nilai pendekatan dari f(x) yang merupakan limit (nilai Batas) dari f(x) tersebut.
Contoh :
Untuk x mendekati tak berhingga, maka f(a) = 2/x akhirnya akan mendekati 0.
ditulis : l i m     2 = 0
x ® ¥  x

Hasil yang harus dihindari

0/0 ; ¥/¥ ; ¥-¥ ; 0,¥ (*) (bentuk tak tentu)

Teorema
1. Jika f(x) = c maka   l i m    f(x) = c
x ® a

2. Jika l i m    f(x) = F dan l i m    g(x) = G maka berlaku
x ® a x ® a
a.  l i m   [f(x) ± g(x)] =  l i m   f(x) ± l i m   g(x) = F ± G
x ® a
x ® a x ® a

b. l i m   [f(x) • g(x)] =  l i m   f(x) l i m   g(x) = F • G
x ® a
x ® a x ® a
c. l i m   k • f(x) =  k  l i m   f(x) = k • F
x ® a
x ® a
l i m     f(x)
d. l i m     f(x) = x ® a = F
x ® a g(x)     l i m     g(x) G
x ® a

Langkah Mencari Limit Suatu Fungsi

1. Harga yang didekati disubstitusikan ke fangsi yang dimaksud.
Bila bukan (*) maka itulah nilai limitnya.

2. Bila (*) maka usahakan diuraikan.
Pada fungsi pecahan, faktor yang sama pada pembilang dan     penyebut (penyebab bentuk (*)) dicoret. Pencoretan im boleh     dilakukan, karena x hanya mardekati harga yang diberikan. Kemudian     baru harga yang didekati disubstitusikan. Dalam konteks limit     perhatikan hasil pembagian berikut :

0/a = 0 ; a/0 = ¥ ; ¥/a = ¥a/¥ = 0 ; ¥ ± a = ¥ (a = konstanta)

Ketentuan

Untuk x <<< ( x ® 0 ) maka sin x » x
(x <<< kecil sekali ; » setara )

l i m    sin x = 1             l i m   tg x = 1
x ® 0     x                    x ® 0    x

l i m     x = 1            l i m      x = 1
x ® 0   sin  x                 x ® 0     tg x

PERLUASAN

l i m    sin ax = a/b       l i m     tg ax = a/b
x ® 0     bx                 x ® 0     bx

l i m     ax = a/b       l i m      ax = a/b
x ® 0   sin bx                 x ® 0  tg bx
l i m    sin ax = a/b       l i m     tg ax = a/b
x ® 0   sin bx                 x ® 0 tg bx

l i m    sin ax = a/b       l i m     tg ax = a/b
x ® 0   tg bx               x ® 0    sin bx

Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:

cos x = sin (90° – x)
ctg x = tg (90° – x)
sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax
cos ax = 1- 2 sin² ½ax
cos²x = 1 – sin²x

Hal-Hal Khusus

l i m    axm + bxm-1 + …. =
x ® ¥   pxn + qxn-1 + …
¥    untuk m > n ;
a/p untuk m =n ;
0    untuk m < n

l i m    Öax2 + bx + c  –    Ödx2 + ex + f
x ® ¥
¥    untuk a > d ;
b-e untuk m =n ;
2Öa
-¥    untuk a < d

Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.

Dalil L’hospital

Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka

l i m    f(x) = l i m    f(x)
x ® ¥  g(x)     x ® a   g(x)       

Contoh Limit Fungsi Aljabar

1.  l i m   x2 – 5x + 6 = (3)2 – 5(3) + 6 = 0 
x ® 3

2.  l i m    3x – 2 ¥ (*) Uraikan
x ® ¥  2x + 1       ¥     

x(3 – 2/x) = 3 – 2/x = 3 – 0 = 3
x(2 – 1/x)    2 + 1/x   2 – 0    2

atau langsung gunakan hal khusus

3.  l i m    x2 – x – 1 ¥ (*) Uraikan
x ® ¥   10x + 9         ¥     

x(x – 1 – 1/x) = x – 1 – 1/x = ¥ – 1 – 0 = ¥ =¥
x(10 – 9/x)       10 + 9/x        10 + 0      10

atau langsung gunakan hal khusus

4.  l i m    x2 – 3x + 2 0 (*) Uraikan
x ® 2   x2 – 5x + 6       0    

(x – 1)(x – 2) = (x – 1) = 2 – 1 = -1
(x – 3)(x – 2) = (x – 3) = 2 – 3
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
5.  l i m    x3 – 3x2 + 3x – 1 0 (*) Uraikan
x ® 1       x2 – 5x + 6           0    

(x – 1)3 = (x – 1)2 = (1 – 1)2 = 0
(x – 1) (x – 5)     (x + 5)     (1 + 5)     6

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

6.  l i m    Ö2 + x – Ö2x 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x ® 2       x – 2            0         mengalikan bentuk sekawan

(x – 1)3 = (x – 1)2 = (1 – 1)2 = 0 = 0
(x – 1) (x – 5)     (x + 5)     (1 + 5)     6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

7.  l i m   (3x – Ö9x2 + 4x)  = ¥ – ¥  (*) Hilangkan tanda akar
x ® ¥       

l i m   (3x – Ö9x2 + 4x )  = é 3x – Ö9x2 + 4x ù =  (*) Hilangkan tanda
x ®  ¥   ë 3x – Ö9x2 + 4x  û akar

l i m   (9×2 – (9x2 + 4x)  = l i m    -4x =
x ®  ¥    3x + Ö(9x2 + 4x) x ®  ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)]

l i m     -4 -4 = -2
x ®  ¥    3 + 3Ö(1 + 0) 6     3
atau langsung gunakan hal khusus

Contoh Limit Fungsi Trigonometri

1. l i m   sin 2x = 0 (*)
x ® 0  tg 3x     0

sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x     tg 3x 3             3    3

2. l i m   1 – cos 2x = 0
x ® 0      sin 2x      0

1 – (1 – 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x        2 sin x cos       cos x

3. l i m   1 – cos x = 0
x ® 0       3x²      0

2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x)     6 (½x)      (½x)      6             6

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

4. l i m   sin x – sin a = 0 (*)
x ® 0       x – a        0

2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x – a                         ½ (x – a )

cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

PERSAMAAN DAN FUNSI KUADRAT

MUSE HYSTERIA

  1. A. Definisi

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertinggi peubahnya sama dengan dua.
Contoh :

  • Y2+ 4y +1 = 0
  • x2 + 2 ( x + 1) +4 = 0
  • m p2 + (m+1) p + 3p+1 = 0

Peubah atau variabel persamaan kuadrat umumnya adalah x, tetapi variabel tersebut dapat huruf apa saja seperti pada contoh.

Bentuk umum persamaan kuadrat ax2+ bx + c =0 , a ‡0

  • x adalah peubah atau variabel
  • a adalah koefisien x2
  • b adalah koefisien x
  • c adalah konstanta

Persamaan kuadrat yang tidak ditulis dalam bentuk umum ini dikenal dengan nama persamaan tersamar. Untuk memastikan , memudahkan penulisan dan penyelesaian, sebaiknya persamaan tersamar tersebut diubah dalam bentuk umum ini ax2+ bx + c =0 , a ‡ 0

Contoh :

Ubah ke bentuk umum dan tentukan apakah persamaan berikut ini adalah persamaan kuadrat

a. ( x2 + 3 )2 – ( x4 + x + 4 ) = 0        b.

Jawab :

a. ( x2 + 3 )2 – ( x4 + x + 4 )=0

  • x4 + 6×2 + 9 –x4 – x – 4 )=0
  • 6×2 + – x + 5=0 , persamaan kuadrat

b.

———————— x 152

15 + 3x3 + 10 x2 = 0, bukan persamaan kuadrat

  1. B. Akar Persamaan Kuadrat

Akar persamaan kuadrat adalah nilai suatu variabel yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Contoh Tentukan bilangan mana diantara –5, 3 dan 7/2 , yang merupakan akar dari Persamaan kuadrat 2x2 + 3x = 35

Untuk x = -5,
<–> 2x2 + 3x = 35
<–> 2(-5)2 + 3(-5) = 35
<–> 50 – 15 = 35,
<–>35 = 35 Benar, jadi x = -5 adalah akar

Untuk x = 3,
<–> 2x2 + 3x = 35
<–> 2(3)2 + 3(3) = 35
<–> 18 + 9 = 35,
<–>27 = 35 salah, jadi x= 3 bukan akar

  1. Penyelesaian persamaan kuadrat :
  • Mencari akar persamaan kuadrat adalah menentukan bilangan yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut.
  • Suatu persamaan kuadrat dapat memiliki 2 (dua) akar , satu akar , atau tidak mempunyai akar
  • Penyelesaian persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan : Pemfaktoran, Melengkapkan bentuk kuadrat dan menggunakan rumus kuadrat

Skema bentuk dan penyelesaian persamaan kuadrat

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan pemfaktoran dilakukan dengan cara mengubah bentuk umum ax2+ bx+ c=0 menjadi bentuk faktor (x –α) (x -β)=0
Langkah-langkah penyelesaian

  • Ubah ke bentuk faktor (x – α) (x – β)=0
  • Tentukan akar-akarnya dengan (x – α)=0 atau (x – β)=0 , sehingga akar-akarnya x1=α atau x2=β.

Bentuk ini difaktorkan menjadi x (x-m) =0

Contoh :
Tentukan akar-akar persamaam kuadrat x2 + 6x = 0 ;

Jawaban :

x2 + 6x = 0
x(x + 6) = 0
x = 0 atau x+ 6 =0
x = 0 atau x = – 6

Bentuk  ax2 +bx +c = 0

untuk a =1  , x2 + bx +c = 0
Bentuk faktor dari persamaan kuadrat untuk a =1  adalah (x+α) (x+β)=0
x2 + αx + βx + αβ = 0
x2 + (α + β)x + αβ = 0

Perhatikan skema berikut :

Jadi persamaan kuadrat x2 + bx +c = 0 dapat difaktorkan menjadi  (x+α) (x+β)=0
Jika ada bilangan a dan b sehingga (x+α) = b dan  ab= c

Contoh :
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x2 – 5x – 24 =0

Jawaban :

Bentuk Faktor dari x2 –5x –24 =0 adalah :
(x – 8) (x+3)=0
(x – 8) = 0 atau (x+3) = 0
Jadi ,  akar-akarnya adalah  x = 8 atau x= -3

Untuk a ‡ 1

ax2 +bx +c = 0 dapat difaktorkan jika ada bilangan a  dan b sehingga (a+b) = b dan  ab= ac
Bentuk faktor dari persamaan kuadrat untuk a ¹1  adalah a (x+  ) (x+ ) = 0

Contoh 2
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 3x2 +7x +2 =0

Jawaban

(3x +1) (x+2)=0

(3x+1) = 0 atau (x+2) = 0

Jadi , akar-akarnya adalah  x = -1/3 atau x = -2

Penyelesaian persamaan kuadrat dengan kuadrat sempurna

Tidak semua persamaan kuadrat mudah difaktorkan, hanya persamaan kuadrat yang akarnya rasional saja yang mudah difaktorkan. Persamaan kuadrat yang sulit difaktorkan dapat diselesaiakn dengan kuadrat sempurna atau rumus kuadrat.

Persamaan kuadrat dapat diubah kebentuk kuadrat sempurna yaitu x2= p atau (x-m)2 = p

Bentuk  ax2 + c = 0

Langkah-langkah

  • Ubah ke bentuk x2= p
  • Tentukan akar dengan sifat

Contoh
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat  x2 – 9= 0  !

Jawaban :


Bentuk  ax2 +bx + c = 0

Langkah-langkah :

  • Ubah ke bentuk kuadrat sempurna (x-m)2= p dengan rumus
  • Tentukan akar menggunakan sifat


Contoh 1

Tentukan akar persamaan kuadrat x2 + 4x –2 =0 dengan kuadrat sempurna !

Jawaban :

Contoh 2

Tentukan akar persamaan kuadrat 2x2 + 4x +1 =0 dengan kuadrat sempurna !

Jawaban

Penyelesaian persamaan kuadrat dengan Rumus Kuadrat

  • Rumus ini juga dikenal dengan nama rumus ABC
  • Dapat digunakan untuk semua bentuk Persamaan Kuadrat
  • Menjadi alternatif terakhir jika persamaan kuadrat tidak dapat difaktorkan atau terlalu sulit dengan rumus kuadrat sempurna.

Contoh

Tentukan akar persamaan kuadrat 2x2 –3x –9 =0 dengan rumus ABC !

Jawaban

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.